Справочник

Площадь многоугольника через периметр

Содержание

Онлайн калькулятор.

Как посчитать площадь многоугольника

Площадь прямоугольника

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь прямоугольника.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади прямоугольника, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади прямоугольника

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения!

Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади прямоугольника

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "вправо" и "влево" на клавиатуре.

где S — площадь прямоугольника,

a — длина первой стороны,

b — длина второй стороны.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами

Вычисляет площадь неправильного четырехугольника с известными длинами сторон

С завидным упорством некоторые пользователи Planetcalc оставляют запросы на создание калькулятора для расчета площади неправильного четырехугольника, для которого известны только длины сторон. Подумалось, что остановить их можно только написав вот такой шуточный калькулятор. (Нажмите кнопку «Остановить» для определения площади понравившегося Вам четырехугольника с заданными Вами сторонами).

Длина стороны A

Длина стороны B

Длина стороны C

Длина стороны D

Площадь неправильного четырехугольника, зная только длины сторон, вычислить нельзя. Надеюсь, эта демонстрация поможет понять это всем, кто просил создать для этого калькулятор.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника. На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника, заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

Рис1

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

Рис. 2

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х1, y1), (x2, у2), …, (хN,уN) —координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки.

Правильный многоугольник

Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S,вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Program geom6; Const n_max=200; {максимальное количество точек+1} type b=record x,y:real; end; myArray= array of b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer;procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); {Заполнение массива } begin assign(input,’input.pas’); reset(input); readln(input, n); for i:=1 to n do read(input, a.x,a.y); close(input); end;function Square (A:myarray): real; {Вычисление площади многоугольника} var i:integer; S: real; begin a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i:=1 to n do s := s + (a.x*a.y — a.y*a.x); s:=abs(s/2); Square := S end; {Square} begin {main} Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Square(a); writeln(‘S= ‘,s:6:2); end.

Координаты вершин считывается из файла input.pas.,  хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Входные данные:
5
0.6  2.1  1.8  3.6  2.2  2.3  3.6  2.4  3.1  0.5

Выходные данные:
S= 3.91

Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин. Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии. Буду Вам очень признательна за сотрудничество.

До встречи на следующем уроке.

Поделиться с друзьями

Как посчитать площадь многоугольника

Посчитать площадь многоугольника относительно несложно. Здесь не потребуется производить особые измерения и высчитывать интегралы. Достаточно всего лишь подходящего прибора для измерения длины и возможности построения (и измерения) нескольких дополнительных отрезков.

Вам понадобится

  • — бечевка;
  • — рулетка;
  • — циркуль;
  • — линейка;
  • — калькулятор.

Инструкция

  • Чтобы посчитать площадь произвольного многоугольника, отметьте внутри него произвольную точку, а затем соедините ее с каждой вершиной. Если многоугольник невыпуклый, выберите точку таким образом, чтобы проведенные отрезки не пересекали стороны фигуры. Например, если многоугольник является внешней границей «звезды», то точку нужно отметить не в «луче» звезды, а в ее центре.
  • Теперь измерьте длины сторон в каждом из образовавшихся треугольников. После этого воспользуйтесь формулой Герона и вычислите площадь каждого из них. Сумма площадей всех треугольников и будет искомой площадью многоугольника.
  • Если форму многоугольника имеет фигура очень большой площади, например, земельный участок, провести отрезки необходимой длины будет довольно-таки проблематично. Поэтому, в таком случае поступите следующим образом: вбейте в центр многоугольника колышек и протяните от него к каждой вершине отрезок бечевки. Затем измерьте и запишите в строгой последовательности длины всех отрезков. Аналогичным образом измерьте и стороны самого многоугольника, натянув бечевку между соседними вершинами.
  • Чтобы воспользоваться формулой Герона, сначала посчитайте полупериметр каждого треугольника по формуле:р = ½ * (а + b + с),где:
    а, b и c – длины сторон треугольника,
    р – полупериметр (стандартное обозначение).Определив полупериметр треугольника, подставьте полученное число в следующую формулу:S∆ = √(р*(p-a)*(p-b)*(p-c)),где:
    S∆ – площадь треугольника.
  • Если многоугольник выпуклый, т.е.

    4. Площадь многоугольника

    не имеет внутренних углов, превышающих 180º, то выберите в качестве внутренней точки любую вершину многоугольника. В этом случае, треугольников получится на два меньше, что иногда может существенно упростить задачу нахождения площади многоугольника. Система расчета площадей полученных треугольников не отличается от описанной выше.

  • При решении школьных задач и «задач на смекалку» внимательно рассмотрите форму многоугольника. Возможно, его удастся разбить на несколько частей, из которых можно будет сложить «правильную» фигуру, например, квадрат.
  • Иногда многоугольник можно «дополнить» до правильной фигуры. В таком случае, просто вычтите из площади дополненной фигуры площадь дополнения. Кстати, этот способ актуален не только для решения абстрактных задач. Так, например, если по углам и вдоль стен комнаты у вас расставлена мебель, то для расчета свободной площади, просто вычтите из общей площади комнаты площадь, которую занимает мебель.

© CompleteRepair.Ru

Периметр — это общая длина замкнутого контура, ограничивающего площадь двумерной фигуры (у которой три или более угла). Он равен сумме длин сторон фигуры. Вычисление периметра зависит от формы многоугольника (например, правильный многоугольник) и данных значений его сторон.

Шаги

  1. 1 Найдите и сложите значения всех сторон многоугольника. Периметр любого многоугольника можно найти, измерив длину каждой стороны многоугольника, а затем сложив найденные значения. Это простейший способ вычисления периметра многоугольника, и он работает с многоугольниками любой формы.
    • Например, дан неправильный многоугольник с длинами сторон 5, 5, 4, 3, 3. Его периметр: 5 + 5 + 4 + 3 + 3 = 20.
    • Если одна или несколько сторон многоугольника неизвестны, вычисление периметра включает другие геометрические концепции. Например, если данный многоугольник является прямоугольным треугольником (или может быть разбит на несколько прямоугольных треугольников), то для нахождения неизвестных сторон применяют тригонометрию.
    • 2 В случае равенства нескольких сторон многоугольника, умножьте длину одной такой стороны на количество равных сторон. Например, равнобедренные треугольники и равнобедренные трапеции имеют равные боковые стороны, а параллелограммы и прямоугольники имеют две пары равных сторон (они противоположны друг другу). В этих случаях, если вы знаете длину одной из равных сторон, умножьте ее на количество равных сторон, а затем к результату прибавьте длины оставшихся сторон (и вы найдете периметр).
      • Например, рассмотрим равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны 5 см (каждая), а основание равно 4 см. Для нахождения периметра умножьте длину одной из равных сторон (5) на количество равных сторон (2), а затем прибавьте длину основания: (5 × 2) + 4 = 10 + 4 = 14 см
      • Теперь рассмотрим параллелограмм, прилежащие стороны которого равны 5 см и 4 см. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, умножьте каждую из прилежащих сторон на 2 и сложите результаты. Периметр параллелограмма: (2 × 5) + (2 × 4) = 10 + 8 = 18 см
      • Обратите внимание, что этот метод может быть использован для квадратов, ромбов и прямоугольников, которые являются частными случаями параллелограмма.
      • 3 Правильный многоугольник – многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Например, квадраты и равносторонние треугольники являются правильными многоугольниками. В случае правильных многоугольников их периметр равен произведению длины одной стороны на число сторон многоугольника.
        • Например, периметр квадрата с длиной стороны 4 см: 4 × 4 (так как у квадрата 4 стороны) = 16 см. Периметр равностороннего треугольника с длиной стороны 4 см: 4 × 3 = 12 см
        • Этот метод также применим к неправильным многоугольникам с равными сторонами. Например, ромб не является правильным многоугольником (его углы не равны), но периметр ромба равен произведению его стороны на 4 (все стороны ромба равны).
        • 4 Вы можете использовать площадь и апофему правильного многоугольника для вычисления его периметра (это альтернативный метод). Расстояние от центра многоугольника до середины одной из его сторон называется апофемой.

          Площадь четырехугольника

          Подставьте известные значения площади и апофемы в следующую формулу: (Площадь) = (Периметр) × (Апофема)/2

          • Например, квадрат с длиной стороны 4 см имеет площадь 16 см2, а его апофема равна 2 см. Используя вышеприведенную форму, вычислите периметр следующим образом:
            • 16 = (периметр) × 2/2
            • 16 = (периметр) × 1
            • 16 = периметр. Периметр квадрата равен 16 см, то есть вы получили тот же ответ, что и раньше.

            Советы

            • Многоугольники также называются полигонами.

            Что вам понадобится

            • Линейка
            • Карандаш, бумага и калькулятор

            Прислал: Лебедева Мария . 2017-11-06 17:23:20

            Ссылки по теме:

            1. Понятие площади многоугольника

            8 класс
            Учитель математики МКОУ Лисянская СОШ
            Деревянкина Светлана Евгеньевна

            2. Понятие площади

            O
            O
            O
            O
            O
            В жизни часто приходится вычислять площади геометрических
            фигур.
            Например, приходится определять площадь поля, огорода,
            спортивной площадки или определять площадь пола в здании,
            площадь стен или окон в комнате.
            При всяком измерении необходимо заранее иметь меру, с
            которой сравнивается измеряемая величина. При
            взвешивании употребляются меры веса: килограмм, грамм,
            тонна, центнер. Время измеряется часами, минутами,
            секундами.
            При измерении длины отрезка МN сравниваем его с метром,
            сантиметром или с какой-нибудь другой мерой длины. При
            измерении углов пользуемся угловыми градусами, минутами.
            Точно так же при измерении площадей геометрических фигур
            пользуются особыми мерами, с которыми сравниваются эти
            фигуры.

            3.

            4. Единицы измерения площадей

            Такими мерами являются квадраты, стороны которых
            равны какой-нибудь линейной мере: метру, дециметру,
            сантиметру, миллиметру.
            При измерении площадей, имеющих большие размеры,
            за меру может быть принят квадрат, сторона которого
            равна километру.
            Квадрат, сторона которого равна какой-нибудь линейной
            единице, называется квадратной единицей: квадратным
            метром, квадратным сантиметром, квадратным
            километром и т. д.,
            Измерить площадь какой-нибудь геометрической
            фигуры — значит узнать, сколько тех или иных
            квадратных единиц содержится в фигуре, площадь
            которой измеряется.

            5.

            Площадь одного
            квадрата – 1 см2
            Площадь всей
            фигуры-?

            6. Найди площади фигур

            7. Площадь многоугольника

            Площадь многоугольника – это величина
            той части площади, которую занимает
            многоугольник.
            Площадь многоугольника –
            выражается положительным
            числом
            Площадь многоугольника
            показывает сколько раз единица
            измерения или её части
            укладываются в данном
            многоугольнике.

            8. Свойства площадей

            Свойство1.
            Равные многоугольники
            имеют равные площади
            Задача
            Площадь параллелограмма
            ABCD – 30 кв. см Чему равна
            площадь треугольника АВD?
            Многоугольники, имеющие равные площади называются
            равновеликими.

            9.

            Свойство 2.
            Если многоугольник составлен из нескольких
            многоугольников, то его площадь равна сумме
            площадей этих многоугольников.
            S1=S2+S3
            Если многоугольник
            разрезан на несколько
            многоугольников и из
            него составлен другой
            многоугольник, то такие
            многоугольники называют
            равносоставленными.

            10.

            Верны ли утверждения?
            1.

            Расчет площади комнаты: способы, формулы, примеры

            Если два многоугольника равносоставленные,
            то они равновеликие?
            2. Если два многоугольника равновеликие, то они
            равносоставленные?
            (выяснить кто из известных математиков
            доказал это утверждение?)

            11.

            Свойство 3
            Площадь квадрата равна квадрату его
            стороны.
            Продолжи цепочку:
            1 км2 = 1000000 м2 = 100 дм2 = 100 см2= 100 мм2

            12. Найдите площади фигур

            13.

            14. Творческое задание:

            Найти площадь фигуры:

            15. Палетка.

            В тех случаях, когда измерение площади какойнибудь фигуры не требует большой точности, а
            также, когда фигура, площадь которой требуется
            измерить, ограничена криволинейным контуром ,
            для измерения площади употребляется особый
            прибор, называемый палеткой.
            Палетка представляет собой прозрачную
            пластинку, на которую наносится масштабная
            квадратная сетка, например, со стороной
            квадрата, равной 1 см.

            16.

            17.

            Эта пластинка накладывается на фигуру, площадь
            которой требуется измерить
            Сначала подсчитывается число квадратов, полностью
            укладывающихся в данной фигуре; на чертеже их 26.
            Затем подсчитывается число квадратов, пересекаемых
            контуром фигуры; на чертеже их 21.
            Каждый из неполных квадратов принимается за
            половину квадрата, таким образом, их общая площадь
            приближённо составит 21 : 2 = 10,5 квадрата.
            Общее число квадратов, заключающихся в измеряемой
            фигуре, таким образом, составит 26 + 10,5 = 36,5
            квадрата. Если, например, каждый квадрат в
            действительности соответствует 1 кв. м, то измеряемая
            площадь составит 36,5 кв. м.

            Понятие площади многоугольника

            English     РусскийRules

            Добавить комментарий

            Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *